Une citation pour commencer

« Dans toute statistique, l'inexactitude du nombre entier est compensée par la précision des décimales. »

Georges Elgozy - L'Esprit des mots, ou l'Antidictionnaire - 1981

Rappel : Principe de la numération décimale

La numération décimale est un système de numération dans lequel les nombres sont écrits au moyen de dix chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9).

Il s'agit d'une numération de position : la signification d'un chiffre dépend de la position qu'il occupe dans l'écriture du nombre.

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Le principe d'écriture des nombres entiers est le suivant :

- Un nombre inférieur à dix s'écrit avec un seul chiffre, appelé chiffre des unités.

- Dès qu'on a au moins dix unités, on peut regrouper certaines unités par paquets de dix, appelés dizaines. On forme le nombre en écrivant le nombre de dizaines obtenu juste à gauche du nombre d'unités restantes après le regroupement (qui peut donc être égal à 0).

- Dès qu'on a au moins dix dizaines, on peut regrouper à nouveau certaines dizaines par paquets de dix, appelés centaines. On forme le nombre en écrivant le nombre de centaines obtenu juste à gauche du nombre de dizaines restantes après le regroupement (qui peut donc être égal à 0) pour finir par le nombre d'unités.

- Dès qu'on a au moins dix centaines, on peut regrouper à nouveau certaines centaines par paquets de dix, appelés milliers. On forme le nombre en écrivant le nombre de milliers obtenu juste à gauche du nombre de centaines restantes après le regroupement (qui peut donc être égal à 0), puis le nombre de dizaines et le nombre d'unités.

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Et ainsi de suite : à chaque regroupement possible par paquets de dix, on utilise un chiffre supplémentaire placé à la gauche des chiffres précédemment utilisés.

Exemple :

Dans le nombre 2 648, on trouve donc, de droite à gauche, 8 unités, 4 dizaines, 6 centaines et 2 milliers.

Complément : Écriture des grands nombres

Pour les grands, voire très grands nombres, on utilise le principe suivant :

- les chiffres sont regroupés par classes (de droite à gauche) : classe des unités, classe des milliers, classe des millions et classe des milliards.

- chaque classe contient trois chiffres (de droite à gauche) : un chiffre des unités, un chiffre des dizaines et un chiffre des centaines.

Exemple :

Le nombre 25 645 519 contient donc :

- 2 dizaines et 5 unités dans la classe des millions.

- 6 centaines, 4 dizaines et 5 unités dans la classe des milliers.

- 5 centaines, 1 dizaine et 9 unités dans la classe des unités.

Il se lit donc vingt-cinq millions six cent quarante cinq mille cinq cent dix neuf.

Partager l'unité

Dans certains cas, l'utilisation des nombres entiers ne suffit pas à exprimer précisément une quantité (une mesure de longueur par exemple), notamment lorsqu'elle est comprise entre deux nombres entiers consécutifs.

Par conséquent, il faut utiliser une quantité plus petite que l'unité et donc diviser cette unité en plusieurs parties.

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Pour rester cohérent avec le système de numération décimale, l'unité est partagée en dix parties.

Chaque partie représente donc \(\frac{1}{10}\) (un dixième) de l'unité. L'unité est partagée en dix dixièmes (\(1\ =\ \frac{10}{10}\)).

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Si ce partage ne suffit toujours pas (si la quantité est comprise entre deux dixièmes consécutifs), on partage à nouveau chaque dixième en dix parties. L'unité se retrouve partagée en \(10\ \times\ 10 =\ 100\) parties.

Chaque partie représente donc \(\frac{1}{100}\) (un centième) de l'unité. Un dixième est partagé en dix centièmes (\(\frac{1}{10}\ =\ \frac{10}{100}\)) et l'unité est partagée en cent centièmes (\(1\ =\ \frac{100}{100}\)).

\(\\)

Et ainsi de suite...

Définition : Fraction décimale

On appelle fraction décimale une fraction ayant pour dénominateur 10 ; 100 ; 1 000 ; 10 000 etc...

Exemple :

\(\frac{3}{10}\) ; \(\frac{9}{100}\) ; \(\frac{56}{100}\) ; \(\frac{3\ 256}{10}\) ; \(\frac{212}{1\ 000}\) ; \(\frac{15}{100\ 000}\) sont des fractions décimales.

Complément : Additionner des fractions décimales

De la même manière que pour les fractions en général, on peut additionner (et soustraire) des fractions décimales à condition qu'elles aient le même dénominateur.

Écrire un nombre qui n'est pas entier

Pour écrire un nombre qui n'est pas un nombre entier, on peut donc écrire que ce nombre est un nombre entier auquel on ajoute un certain nombre de dixièmes, puis éventuellement un certain nombre de centièmes etc...

Exemple :

\(12\ +\  \frac{5}{10}\)

\(369\ +\ \frac{2}{10}\ +\ \frac{8}{100}\)

\(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\)

Avec une seule fraction décimale

On peut également écrire un nombre qui n'est pas un nombre entier comme un nombre entier auquel on ajoute une seule fraction décimale

Méthode :

\(369\ +\ \frac{2}{10}\ +\ \frac{8}{100}\)

Dans l'écriture de ce nombre, on trouve deux fractions décimales : \(\frac{2}{10}\) et \(\frac{8}{100}\). On peut les réduire en une seule fraction décimale.

En effet, la fraction décimale \(\frac{2}{10}\) signifie que ce nombre contient deux dixièmes. Or, chaque dixième est partagé en dix centièmes. Dans deux dixièmes, il y a donc 2 fois 10 centièmes, soit 20 centièmes.

Donc : \(\frac{2}{10}\ =\ \frac{20}{100}\)

On en déduit que : \(369\ +\ \frac{2}{10}\ +\ \frac{8}{100}\ =\ 369\ +\ \frac{20}{100}\ +\ \frac{8}{100}\ =\ 369\ +\ \frac{20 + 8}{100}\ =\ 369\ +\ \frac{28}{100}\)

Exemple :

\(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\)

\(\frac{1}{100}\ =\ \frac{10}{1\ 000}\)

\(\frac{3}{10}\ =\ \frac{30}{100}\ =\ \frac{300}{1\ 000}\)

Donc : \(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\ =\ 3\ 264\ +\ \frac{300}{1\ 000}\ +\ \frac{10}{1\ 000}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\ =\ 3\ 264\ +\ \frac{300\ +\ 10\ +\ 9}{1\ 000}\ =\ 3\ 264\ +\ \frac{319}{1\ 000}\)

Vers les nombres décimaux

Les fractions décimales ont longtemps été utilisées pour exprimer des grandeurs qui ne sont pas entières, malgré la lourdeur des notations.

C'est un ingénieur, physicien, mécanicien et mathématicien belge, Simon Stevin, né probablement en 15481 à Bruges et mort en 1620, qui initia une simplification de l'écriture.

Dans un ouvrage intitulé La disme (1 585), il introduit une notation dans laquelle les fractions décimales sont remplacées par des chiffres entourés :

Le nombre \(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\) est noté alors .

C'est ensuite John Napier (ou Jean Neper), né en 1550 et mort le 4 avril 1617, théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais, qui popularisa l'utilisation d'un point pour séparer la partie entière d'un nombre de sa partie décimale en étendant ainsi le principe d'écriture décimale des nombres.

Le nombre \(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\) devient alors \(3\ 264.319\) en Angleterre, puis \(3\ 264,319\) en France.

Exemple :

\(12\ +\  \frac{5}{10}\) s'écrit donc \(12,5\).

\(369\ +\ \frac{2}{10}\ +\ \frac{8}{100}\) s'écrit \(369,28\).

\(3\ 264\ +\ \frac{3}{10}\ +\ \frac{1}{100}\ +\ \frac{9}{1\ 000}\) s'écrit \(3\ 264,319\).

Tableau de numération décimale

Exemple :

Dans le nombre 2 601,954 :

- le chiffre des unités est 1.

- 2 est le chiffre de milliers (ou des unités de mille).

- le chiffre des dixièmes est 9.

- 0 est le chiffre des dizaines.

- le chiffre des centaines est 6.

- 5 est le chiffre des centièmes.

- le chiffre des millièmes est 4.